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Physical Modelling

Pierre Dutilleux
ZKM | Institut für Musik und Akustik
Januar 1994

Einleitung

Die Physical-Model Synthesis ist ein Synthese-Verfahren, das den Musikern immer häufiger und mehr angeboten werden wird. Wir werden hier versuchen zu erklären, wie die Modelle erfunden wurden und wie sie zum Einsatz kommen und auch schon gekommen sind.

Die Synthesizer-Programmierer streben nach Klängen, die das Ohr ansprechen und anregen. Die meisten Synthesizer arbeiten entweder nach dem Prinzip der algorithmischen Synthese oder dem des Samplings. Durch die algorithmische Synthese gewinnt man geheimnisvolle Klänge, die das Ohr oft überraschen. Durch Sampling erhält man naturgetreue Klänge, die aber etwas an Ausdrucksmöglichkeiten vermissen lassen. Wie kann man noch näher an den Wunsch des Ohres herankommen? Die ökologische Theorie der Entwicklung der Wahrnehmungs-Sinne meint, daß das Ohr immer versucht, die Herkunft der Klänge zu bestimmen; es möchte die Klänge klassifieren können, z.B. nach Produktionsprinzip: Schlag-, Streich-, Blas-Instrument usw. In diesem Sinne bringt die Physical-Model Synthesis ein Verfahren, das die Erwartungen des Ohres am besten erfüllen, bzw. täuschen kann. Physical-Model Synthesis hat mehrere Vorteile: Es ist ansprechend wie Sampling, kann so effizient sein wie algorithmische Synthese, und dazu neue Ausdrucksmöglichkeiten bringen.

Viele Naturwissenschaftler und Komponisten gestalten physikalische Modelle für künstlerische Anwendungen. Um den Klang eines Musikinstruments zu simulieren, sind mehrere Verfahren denkbar:

- Simulation sämtlicher mechanischer Eigenschaften;

- Simulation der Schwingungen;

- Simulation des klanglichen Ergebnisses.

Der Vorteil der beiden ersten Verfahren ist, daß sie über das Musikinstrument ein grundlegendes Kenntnis verleihen und wunderschöne Klänge liefern können. Sie sind aber oft sehr aufwendig. Das letzte Verfahren strebt mehr nach Effizienz, um Modelle zu schaffen, die den Einsatz in Echtzeit ermöglichen. Eine grundliegende Arbeit für dieses Verfahren wurde von McIntyre et al. geliefert. Diese Akustiker haben mehrere Instrumente untersucht und ein allgemeines Modell vorgestellt, um an einer Saite oder einem Rohrblatt oder einem Rohr zu simulieren, wie Schwingungen enstehen. Sie haben gezeigt, daß Erreger (Bogen, Luftstrom etc.) und schwingender Körper (Saite, Rohrblatt etc.) nichtlinear zusammenwirken.

Unabhängig von dieser Arbeit hatten Kevin Karplus und Alex Strong einen Algorithmus erfunden zur effizienten Simulation der Saitenklänge. David Jaffe und Julius O. Smith haben die Prinzipien, die damals vorgestellt worden sind weiter entwickelt und musikalisch eingesetzt.

Anhand des Beispiels der Klarinette werden wir den Aufbau und die Funktionsweise eines solchen Modells beschreiben.

Ein Modell der Klarinette

Das Modell ist dreiteilig: Mundstück, Rohr und Schallstück. Das Mundstück erzeugt das Signal, die Tonhöhe wird vom Rohr bestimmt und der Klang wird durch das Schallstück freigestzt (Bild 1.)

Bild 1: Ein Modell der Klarinette


Vorwärts und Rückwärts im Rohr

In dem Rohr werden die Klänge übertragen. Das Rohr lässt aber nicht alle Frequenzen passieren. Es verstärkt bestimmte Töne, andere können sich im Rohr nicht entwickeln. Um das Verhalten des Rohres zu erklären, können wir den Schalldruck p(t) in 2 Teile p+(t) und p-(t) beschreiben. Der Teil p+(t) steht für die Schallwelle, die vom Mundstück zum Schallstück läuft, der Teil p-(t) steht für die Schallwelle, die vom Schallstück zur Mundstück zurück läuft. Wir werden weiter erklären, wie diese Teile voneinander und von den akustischen Eigenschaften des Instruments abhängig sind.

p(t) = p+(t) + p-(t)

Das Rohr wird als eine Verzögerungseinheit modelliert, und zwar mit einem Hinweg, für p+(t) und einem Rückweg für p-(t). Am Eingang des Rohres liegt das Signal aus dem Mundstück an. Das Rohr führt das Signal zum Ausgang, aber das Signal wird nicht in die Luft insgesamt übertragen. Abhängig von der Geometrie des Ausgangs, wird ein Teil von p+(t) im Rohr reflektiert. So entsteht die rückwärts laufende Schallwelle p-(t). Diese Schallwelle kommt zurück zum Mundstück und überlagert sich mit dem Druck aus dem Mund pm, um eine neue Schallewelle p+(t) zu erzeugen.

Wenn die Länge des Klarinettenrohres L ist, c die Schallgeschwindigkeit in der Luft, dann wird die Dauer der Verzögerung auf

T = L/c

eingestellt. Aus der musikalischen Akustik her ist es bekannt, daß ein Rohr der Länge L mit einem geschlossenen Ende (Mundstück) und einem offenen Ende (Schallstück) nur die Frequenzen

fn = (2n + 1) c / (4L)

übertragen kann.

Das ist die Reihe der ungeraden harmonischen Teiltöne des Grundtones

f0 = c / (4L)

Deshalb kann man ein Rohr der Länge L durch eine Verzögrungseinheit der Zeit T ersetzen.

Die Klarinette soll alle Töne der temperierten Tonreihe produzieren können. Das Modell lässt sich zu diesem Zweck durch dei Verzögerungszeit T einstellen. Noch besser, das Modell ist nicht auf die temperierte Tonreihe begrenzt, es kann auf beliebige Tonhöhen eingestellt werden.

Zurück oder in die Luft springen: Übertragungsfilter

Wir haben gesagt, daß die Schallwelle p-(t) aus einer Reflekion der vorwärts laufende Schallwelle p+(t) am Schallstück ensteht. Diese Reflektion ist eigentlich frequenzabhängig. Der Durchmesser des Schallstücks bestimmt eine Grenzfrequenz fc. Unterhalb dieser Frequenz werden die Teiltöne ins Rohr reflektiert, oberhalb werden sie in die Luft übertragen. Wir können sagen daß der Schallstück aus einem Paar von Filtern besteht; ein Tiefpass Filter zum Rohr zurück, ein Hochpassfilter zur Luft hin. Diese Filtern lassen sich leicht in das Modell implementieren. Die Grenzfrequenz fc lässt sich im Modell beliebig einstellen, dadurch kann man mit unterschiedlichen Schallstückformen experimentieren (Bild 2).

Bild 2: Implementierung des Modells

Der Ursprung des Tones: das Rohrblatt

Soweit zu den einfachen Aspekten der Simulation. Die Wirkung des Rohrs und des Schallstückes lassen sich durch lineare Elemente simulieren. Wir wissen aber immer noch nicht, woher eigentlich der Klang, die Schalldruckwelle p+(t), kommt. Diese Schallwelle wird durch ein nichtlineares System erzeugt. Das Modell wird besser verständlich, wenn wir die akustischen Voraussetzungen und die physikalischen Bedingungen erläutern und schließlich die Implementation klären.

Zunächst müssen wir grob erklären, was "linear" bzw. "nichtlinear Element" heißt. Ein Verstärker ist ein lineares Element, wenn sich das Ausgangssignals y(t) des Verstärkers proportional zur Amplitudenvariationen x(t) am Eingang verhält. Das Verhaltens eines nichtlinearen Element ist von der Amplitude des Eingangssignal abhängig. Es kann mal verstärken, mal abweichen, mal oszillieren...

Die Funktion "y(t) = a x(t) + c" ist linear, sie karakterisiert eine gerade Linie. Eine Parabel wird mit "y(t) = a x2(t) + b x(t) + c" bezeichnet. Das ist eine nichtlineare Funktion.

Musikalische Akustik

A reed can be thought of a long, thin strip of flexible material clamped at one end. If you pluck the free end, the reed vibrates with a natural frequency determined by its mass and stiffness; removing mass near the tip raises its frequency, but thinning near the base mainly affects the stiffness and so lowers the frequency. But this vibration dies away as energy is gradually lost to friction and sound. To maintain steady vibration, some source must continually replenish the energy, and an airstream can do the job.

When the air is admitted to the pipe foot from the windchest under excess pressure pm, its only way to escape back to the atmosphere is through the Mundstück. To force a continuing stream of air through the narrow opening between reed edges and Mundstück, the pressure p(t) out in the Mundstück must be greater than the pressure p inside the Mund. If the size of the opening changes, the flow rate and the pressure difference also change. The flow rate q(m3/s) increases with the distance x of the reed from the Mundstück. On the other hand, the pressure difference p0-ps decreases as the distance x becomes larger. These two dependances q(x) and pm-p(x) are non linear functions. This difference in pressure means there is a force pushing the reed inward and becoming stronger as the opening narrows. That pressure difference force Fp is opposed by the spring-type restoring force Fs from the reed stiffness, which pushes it back out.

When the pressure difference force is strong enough to pull the reed against the bore, the opening gets completely closed, cutting the airflow. The stiffness of the reed may need the aid of a positive pressure pulse (backward travelling wave p-) in the Mundstück before the reed will finally spring back. When the reed opens and the flow resumes, so do the forces that bring the reed over to the Mundstück again.

Der ganze Prozeß kann durch mehrere Verfahren modelliert werden. Der Physiker denkt zuerst an Differentialgleichungen. Der Ingenieur meint: sehr schön... aber wie kann mein Computer in Echtzeit diese Gleichungen lösen? Die beide setzen sich zusammen und erfinden ein Modell, das das wesentliche immitiert und das für die praktischen Anwendungen effektiv genug ist.

Ein nichtlinearer Oszillator

Der Kern des nichtlinearen Oszillators ist eine Funktion zwischen dem Luftfluß q und dem Druck p im Mundstück.

(1) q = F(p)

Eine Musterfunktion wäre

(2) F(p) = 0.2 * (pm - p)(p - pz)

wobei pm der Druck im Mundstück ist, pz der Druck im Mundstück wenn das Rohrblatt dicht am Mundstück bleibt, d.h. wenn der Schlitz zu ist.

Es gilt immer noch

(3) p = p+ + p-

Unabhängig davon ist eine Randbedingung für den Luftfluß am Mundstück nötig. Jede Schalldruckwelle p+(t) und p-(t) erzeugt einen Luftfluß, dazu kommt einen Strom q von Mund. Diese unterschiedliche Flüße müssen sich ausgleichen, deshalb gilt die Gleichung

(4) q = (p+ + p-) / Z

mit Z, der akustische Impedanz des Rohres. Z entspricht dem Verhältnis zwischen Schalldruck und Luftfluß.

Das Schalldrucksignal p+(t) wird von der Summe der Gleichungen (3) und (4) berechnet

(5) p+ = (p + Zq) / 2

Das Signal p-(t) ist eine Veränderung des Signals p+(t) durch die Verzögerungs-Einheit und das Tiefpassfilter.

(6) p-(t) = h(t) * p+(t) (* ist das Faltungszeichen)

h(t) beschreibt die Übertragungseigenschaften des Rohres mit dem Schallstückes, d.h. h(t) ist die Impulsantwort der Verzögerungseinheit mit dem Tiefpassfilter des Schallstücks. Wie p+(t) in (5), lässt sich p-(t) als Funktion von p(t) beschreiben und zwar durch die Differenz der Gleichungen (3) und (4)

(7) p- = (p - Zq) / 2

oder anders geschrieben

(8) p = 2 p- + Zq

p(t) ist jetzt ausgedrückt durch eine Funktion von der reflektierte Schallwelle p-, die durch das Rohr gelaufen ist (Gleichung 6) und vom Luftfluß q am Mundstück. Der Luftfluß ist durch die Gleichung (1) vom Druck p abhängig. Wir haben jetzt eine ausführliche Beschreibung unseres Modells. Die Lösung der Gleichungen für jeden Zeitschritt t wird einen Wert des Schalldrucksignals p(t) ergeben, das für die spezifische Klangfarbe der Klarinette sorgt.

Lösung des Modells

Der Druck im Mund pm wird als gleichmäßig angenommen.

1- Wir geben dem Druck p und dem Strom q die Anfangswerte (p,q)t=0.

2- aus diesen Werten wird nach (5) p+ berechnet

3- p- wird nach (6) aus der Übertragung im Rohr von p+ bestimmt

4- Aus dem System {(8), (1)}: p = 2 p- + Zq  und q = F(p)

kommen für p und q neue Werte (p,q)t.

5- zurück zum Schritt 2.

Diese Berechnungsschleife kann in einem Computer programmiert werden. Die Lösung des Systems {(8),(1)} kann wegen der nichtlinearen Funktion F(p) schwierig sein. Diese Funktion kann aber in einer Tabelle dargestellt werden. Um die Gleichung q = F(p) zu Lösen, braucht man dann lediglich in der Tabelle nachzuschlagen. Um dieses Verfahren zu verstehen, können wir uns mit graphischen Betrachtungen helfen.

Erklärung anhand der nichtlinearen Funktion

Das Bild 3 zeigt die nichtlineare Funktion des Oszillators. Diese Funktion gibt an, welche Zustände im Mundstück möglich sind. Für jeden Druck p im Mundstück gibt es einen bestimmten Luftfluß q. Diese Kopplung zwischen p und q kann durch einen Zustandspunkt auf der Kurve dargestellt werden. Wenn sich p verändert, bewegt sich dieser Punkt auf der Kurve.

Bild 3: Der Luftstrom q durch das Rohrblatt ist vom Druckunterschied p am Blatt abhängig

Der Klang wird durch eine kleine Veränderung des Drucks im Mundstück, durch Anblasen oder einen Zungenstoß auf dem Rohrblatt angestzt. Der Zustandspunkt ist auf der rechten Seite der Kurve.

1- Der Druck p wird eine vorwärts laufende Schalldruckwelle p+ produzieren. Wir nehmen an, daß p+ von 0 bis 1 steigt. Nach der Übertragung und der Reflexion am Schallstück sinkt der rückwärts laufende Schalldruck p- von 0 auf -1. Deshalb sinkt der Druck p und der Zustandspunkt bewegt sich von rechts nach links auf der Kurve. Diese Bewegung entspricht eine Veränderung des Luftflußes q, ein Luftflußimpuls wird dadurch produziert. Wenn der Druck im Mundstück negativ genug wird, ist das Rohrblatt auf das Mundstück gepresst und der Schlitz geschlossen. Der Luftfluß ist 0.

2- Eine neue Schallwelle p+ wird aus der letzte Welle p- produziert. Da der Druck im geschlossenen Mundstück sich nicht augenblicklich verändern kann, übernimmt p+ den Wert von p-, also -1. Nach Vor- und Rücklauf im Rohr wird p- von -1 auf +1 steigen. Der Druck p im Mundstück steigt, das Blatt öfnet sich und der Zustandspunkt bewegt sich von links nach rechts auf die Kurve. Die bewegung entspricht eine Veränderung des Luftflußes, d.h. eine Luftimpuls wird in das System eingespeist.

3- p+ übernimmt die Amplitude 1, nach der hin und zurück Fahrt im Rohr, p- wird -1. Das Rohrblatt schließt sich, der Zustandspunkt geht von rechts nach links auf der Kurve, ein Luftstromimpuls fließt in das Mundstück.

4- zurück zum Schritt 2.

Die Kurve q = F(p) bestimmt die Form des Luftstromimpules, sie hat deshalb einen großen Einfluß auf dem Klang. Die geometrische und viskoelastischen Eigenschaften des Mundstücks und des Blattes sollen von dieser Funktion zusammengefaßt sein.

Conclusion

Die physikalischen Modelle weisen sehr interessante Möglichkeiten auf, sei es für Klanggenerierung oder -Gestaltung. Die Veränderung von einem modellierten Kläng ist möglich, erfordert aber eine tiefere Erkenntnis über das Modell. Die Wahl des Klarinettenmundstücks und -Rohrblatts bestimmt den Klang des Instruments. Dasselbe gilt für das physikalische Modell: die Gestaltung der nichtlinearen Funktion q = F(p) bestimmt den Klang des Synthesizers. Wenn der Musiker einen Wissenschaftler um Hilfe bittet, kann er auf seine Fragen über physikalische Modelle umfangreichere Antworte als auf Fragen über den FM Algorithmus erwarten, bei dem die "Bessel Funktionen" alles bestimmen sollen.

David Jaffe hat in 1983 ein Stück komponiert, wo er den Karplus-Strong String-Algorithm einsetzt. Er sagt: "The composer controls the physical model using intuitively meaningful parameters and the model translates these automatically into spectral changes. It is possible to push the physical model parameters to extreme limits without destroying the perceptual identity of the sound. For example, a physical model of a plucked string instrument may have "pick position" and "dynamic level" as parameters. In Silicon Valley Breakdown, I increased the thickness of a plucked string to an extreme limit to produce the sound of plucking a cable from the Golden Gate Bridge."

Literatur

HALL Donald E., Musical acoustics, 1991, Brooks/Cole, Wadsworth. Die Übersetzung wird vom Zentrum für Kunst und Medientechnologie Karlsruhe bearbeitet, Schott Verlag.

SMITH Julius O. III, Physical modeling using digital waveguides, 1992, Computer Music Journal, Vol. 16, No. 4, Winter, pp. 74-87.

McINTYRE M.E., SCHUMACHER R.T., WOODHOUSE J., On the oscillations of musical instruments, J. Acoust. Soc. Am. 74(5), November 1983, pp. 1325-1345.

JAFFE David, Silicon Valley Breakdown, in CHAFE Chris, JAFFE David, SCHOTTSTAEDT Bill, Dinosaur music, 1988, Wergo, CD WER 2016-50.

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