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Verstärkung von Differenztönen (f2-f1)
Amplification of the difference tones (f2-f1)

Pierre Dutilleux
Zentrum für Kunst und Medientechnologie
Institut für Musik und Akustik

Zusammenfassung

Das Phänomen der Differenztöne ist Instrumentalisten und Komponisten seit langem bekannt. Trotzdem war der Einsatz der Differenztöne immer eine heikle Geschichte, weil ihr Erscheinen sehr schwierig zu kontrollieren ist. Um den Anteil an Differenztönen in einem Gesamtklang künstlerisch und technisch kontrolliert bestimmen zu können, wurde ein Verfahren entwickelt, das die Differenztöne künstlich erzeugt. Die Differenztöne werden anschließend je nach Bedarf dem direkten Klang zugemischt. Die Quadrierung der Beträge des analytischen Signals liefert die Differenztöne. Das analytische Signal wird gebildet aus dem Eingangssignal und dessen Hilbert-Transformierter. Das Verfahren wurde bereits im Konzert eingesetzt.

Abstract

Difference tones have been known by composers and performers for a long time. Nevertheless, these tones are still difficult to use in a musical context because their appearance is fairly unpredictable. In order to control the amount of difference tones in a musical sound, a processing method has been developed that artificially produces the difference tones. These tones can then be mixed to the original sounds as needed. The method is based on the Hilbert-transformation of the original sound. The squared modulus of the analytical signal contains the difference tone. The method has been used in concert.

Problemstellung

Im ZKM | Institut für Musik und Akustik wurde ich oft mit der Problematik der Differenztöne konfrontiert, sei es durch Komponisten oder durch Musiker. Diese Töne, obwohl seit langem bekannt, haben immer noch einen etwas geisterhaften Charakter. Wir können uns durch einige aus der Praxis gesammelten Beispiele davon überzeugen.

Nehmen wir den letzten Satz der 1. Symphonie von Sibelius. Wir können damit die Problematik der Hörbarkeit der Differenztöne im Konzertsaal sehr gut schildern. Am Anfang dieses Satzes spielen zwei Flöten hohe Töne in Terzen. Während einer Probe wurden die Differenztöne deutlich gehört. Während des Konzerts waren diese nicht mehr zu hören [Campbell et al.]. Ähnliche Erfahrungen werden von zahlreichen Komponisten berichtet: auf die Differenztöne kann man sich nicht verlassen. Sie sind manchmal da und manchmal nicht. Die Komponisten fügen hinzu, daß die Abhörsituation eine große Rolle spielt: der Ort im Saal oder die Anzahl von Zuhörern. Ein anderes Beispiel aus der zeitgenössischen Musik: ein Stück für 2 Klarinetten, bei dem der Komponist absichtlich Differenztöne notiert hat. Während der Proben des Stückes hat er mit Zufriedenheit die gewünschten Differenztöne gehört. Er nahm das Stück auf und zu seinem Entsetzen waren die Differenztöne auf der CD nicht mehr zu hören.

Die Komponisten und Musiker lassen sich von diesen Problemen nicht entmutigen. Sie versuchen immer wieder und machen ihre eigene Experimente. Je nach Musikgattung, Tonbandmusik oder Live-Aufführung, suchen sie sich geeignete Lösungen.

Durch künstliche Tonerzeugung, sei es im Studio oder im Computer, durch Verwandlung oder Synthese kann man für die Tonbandmusik die gewünschten Töne produzieren. György Ligeti berichtet, daß er in seinem dritten elektronischen Stück (nicht fertiggestellt) die harmonischen Spektren so kombiniert hat, daß sie im Ohr Differenztöne erzeugt haben [Kolleritsch]. Mit diesen Verfahren geben sich aber die Musiker nicht zufrieden, die auf der Bühne mit ihren Instrumenten die Differenztöne produzieren und steuern wollen.

Der Komponist Johannes Goebel hat ein Metallophon entwickelt und gebaut, mit dem er Differenztöne spielen kann. Die Stäbe sind so angeordnet, daß eine Tonleiter in Differenz-tönen leicht gespielt werden kann. Um diese zu hören, muß man allerdings ziemlich laut spielen. Manche Leute beschweren sich dann wegen der großen Lautstärke.

Der Cellist Michael Bach hat für das Cello spezielle Griffe entwickelt, u.a. um die Differenztöne zu erzeugen [Bach, 1991]. Seinem Schaffensdrang folgend hat er Stücke komponiert, in denen er die Differenztöne gezielt einsetzt [Bach, 1995]. Es ist bekannt, daß die Streicher ihr Gehör besonders entwickeln, um ihre Instrumente zu stimmen und um manche Akkorde genau zu treffen. Deshalb hören sie die Differenztöne viel besser als das breite Publikum. Und das war eigentlich das Problem, mit dem Michael Bach konfrontiert war: er kann Töne hören, die die anderen Menschen nicht hören. Er hat außerdem eine Virtuosität der Differenztöne entwickelt, und kein Mensch merkt es! Er suchte deshalb ein Verfahren, um diese Töne dem Publikum hörbar zu machen.

Konzentriert auf sein Cello, wo er jeden Ton differenziert spielen kann, wollte Michael Bach mit keinem starren Zuspielband oder Computer spielen. Er wollte einfach gesagt, die Klangausbeute seines Cellos, was die Differenztöne betrifft, verbessern. Er wollte die Differenztöne so fein kontrollieren, wie die natürlichen Töne des Cellos und dies mit Hilfe einer Computerverstärkung auch dem Publikum hörbar vermitteln.

In diesem Vortrag wird über die Lösung berichtet, die zu diesem Zweck entwickelt wurde. Um einen Überblick zu bekommen, werden die Ansichten sowohl von Psychoakustikern (die Differenztöne entstehen im Ohr) als auch von Musikern (die Differenztöne sind im Luftraum bereits vorhanden) berücksichtigt. Daraus wird sich eine Lösung ergeben.

Abb. 1: Spektrum der Töne G2 und D2, von 0 bis 800 Hz.
G2&D2: Töne gleichzeitig gespielt. G2+D2: Töne einzeln gespielt und im Computer zusammengemischt (um 20 dB nach unten versetzt).
Der Differenzton G0 ist deutlich zu merken: Zahlreiche harmonische Teiltöne sind in G2&D2 deutlich stärker als in G2+D2.

Psychoakustik

Es gibt verschiedene Arten von Kombinationstönen [Plomp] [Houtsma et al.]. Wir begrenzen uns hier lediglich auf die quadratischen Kombinationstöne, auch Differenztöne f2-f1 genannt. Der Differenzton darf auch nicht mit dem virtuellen Grundton bzw. Residualton verwechselt werden. Der letztere ist ein Ton, dessen Obertöne durch additive Synthese gebildet werden. Dieses Verfahren ist u.a. den Orgelbaumeistern geläufig [Haller] [Roederer].

Die Psychoakustiker haben gezeigt, daß das Ohr nicht linear ist. Dieses bewirkt, daß bei höherer Lautstärke (ab ca. 90 dBSPL) deutliche nichtlineare Verzerrungen entstehen, die Differenztöne erzeugen können [Zwicker et al., 1967]. Dieses wird von der Praxis bestätigt: wenn die Töne laut genug sind, hört man auch die Differenztöne deutlich. Im Beispiel des oben erwähnten Klarinettenstückes hat man festgestellt, daß man auch die Differenztöne hört, wenn man die CD mit der selben Lautstärke abspielt, mit der die Klarinetten gespielt haben.

Michael Bach stellte sich mit dieser Erklärung aber nicht zufrieden, weil manche Differenztöne am Cello sich bei geringer Lautstärke doch hören lassen. Mit ein bißchen Übung konnte ich selber einige Differenztöne hören. Die Frage stellte sich dann: "Wo entstehen die Differenztöne: im Instrument oder im Ohr?" Eine erste Antwort findet man bei Helmholtz: "Bei einzelnen Instrumenten, z.B. dem Harmonium, kann man die Kombinations-töne auch durch passend abgestimmte Resonanzkugeln hörbarer machen. Hier sind sie schon in dem Luftraum des Instrumentes erzeugt. In anderen Fällen aber, wo sie nur im Ohr erzeugt werden, helfen die Resonanzkugeln wenig oder nichts" [Helmholtz, 1862]. Um die Frage zu beantworten, haben wir also probiert, die Differenztöne am Cello zu verstärken, und die Spektra der Celloklänge analysiert.

Abb. 2: Spektrum der Töne D4 und E4, von 0 bis 1600 Hz.
D4&E4: Töne gleichzeitig gespielt. D4+E4: Töne einzeln gespielt und im Computer zusammengemischt (um 20 dB nach unten versetzt).
Zahlreiche Teiltöne in D4&E4 sind stärker als in D4+E4. Man kann diese Teiltöne jedoch nicht eindeutig dem Differenzton C1 zuordnen.

Differenztöne auf dem Violoncello

Die Klänge wurden aufgenommen, in denen Michael Bach Differenztöne des Cellos deutlich hört. Bei diesen Tönen wurde mittels Spektralanalysator untersucht, ob die Differenztöne samt Obertönen deutlich zu messen sind. Für einen Differenzton, der aus den Tönen A und B heraus entsteht, wurden die Töne A dann B einzeln aufgenommen, dann der zusammen-gesetzte Ton A mit B (A&B notiert), der mittels Doppelgriff am Cello gespielt wurde. Im Computer wurde der gemischte Ton A+B produziert, der als Referenz diente. Die Spektra der Töne A+B und A&B wurden dann verglichen. Man geht davon aus, daß Unterschiede zwischen A+B und A&B auf Nichtlinearitäten des Cellos zurückzuführen sind.

In manchen Fällen konnten die Differenztöne deutlich gemessen werden, in anderen war die Zuordnung der Teiltöne zwiespältig. Wenn die Töne G2 und D2 gleichzeitig gespielt werden, entsteht deutlich ein Ton G0 (Abb. 1). Dieser Ton wird vom Cello produziert ; diese Tatsache wird sowohl vom Gehör, als auch von der Messung bestätigt. Bei den Tönen D4 und E4 ist dieses weniger deutlich, aber anhand der gemessenen Spektren nachvollziehbar (Abb. 2, 3).

Abb. 3: Spektrum der Töne D4 und E4, von 800 bis 2400 Hz.
D4&E4: Töne gleichzeitig gespielt. D4+E4: Töne einzeln gespielt und im Computer zusammengemischt (um 20 dB nach unten versetzt).
In diesem höheren Frequenzbereich ist der Differenzton C1 deutlicher zu erkennen: Zahlreiche harmonische Teiltöne sind in D4&E4 stärker als in D4+E4.

Differenztöne durch Signalverarbeitung

Die Differenztöne entstehen, sei es im Ohr oder im Instrument selber, aufgrund von Nichtlinearitäten. Man kann beispielsweise zeigen, welche Wirkung die quadratische Funktion y = x2 auf eine Summe von 2 Sinustönen hat [Plomp].

xr(t) = cos(2pf1t) + cos(2pf2t)
yr(t) = cos2(2pf1t) + cos2(2pf2t) + 2cos(2pf1t)cos(2pf2t)
= ½ + ½ + ½cos(4pf1t) + ½cos(4pf2t) + cos(2p(f1+f2)t) + cos(2p(f2-f1)t)

Die Nichtlinearität produziert nicht nur den gesuchten Differenzton in (f2-f1) sondern auch unerwünschte Teiltöne in 2f1, 2f2und f1+f2. Betrachtet man aber das um 90® versetzte Signal, erhält man:

xi(t) = sin(2pf1t) + sin(2pf2t)
yi(t) = sin2(2pf1t) + sin2(2pf2t) + 2 sin(2pf1t)sin(2pf2t)
= ½ + ½ - ½cos(4pf1t) - ½cos(4pf2t) - cos(2p(f1+f2)t) + cos(2p(f2-f1)t)

Wir finden ebenfalls den Differenzton und die unerwünschten Teiltöne. Diese haben allerdings umgekehrte Vorzeichen. Wenn wir beide Teile addieren

yr(t)+yi(t) = 2 + 2cos(2p(f2-f1)t)

erscheint der Differenzton mit einem Gleichspannungsanteil, der sich mittels eines Hochpaßfilters entfernen läßt.

Das Eingangssignal sollte gleichspannungsfrei sein. Im Zweifelsfall sollte man auch am Eingang einen Hochpaßfilter einsetzen.

Das Verfahren, das die Differenztöne produziert, ist dann (Abb. 4):

- den Gleichspannungsanteil des Eingangssignals herausfiltern
- ein um 90® versetztes Signal bilden
- beide Signale quadrieren und addieren
- den Gleichspannungsanteil herausfiltern
- die Amplitude eventuell halbieren.

Abb. 4: Erzeugung der Differenztöne (f2-f1)

Dieses Resultat läßt sich auch anders formulieren. Im Rahmen der Theorie der Hilbert Transformation definiert manals analytisches Signal des reellen Signals x(t). Der Betrag ist die augenblickliche Hüllkurve des Signals x(t) [Mertins]. Wir stellen hier fest, daß der quadrierte Betrag des analytischen Signalsdie Differenztöne beinhaltet. Wir können diese Ergebnisse graphisch darstellen (Abb. 5). Die Summe von 2 Sinustönen ist als Kurve "i" angezeigt. Man merkt, wie sich die Interferenzen auf die resultierende Amplitude auswirken. Die Summe der um 90® versetzten Signale erscheint als Kurve "r". Man merkt, daß die Hüllkurve des resultierenden Bildes den gesuchten Differenzton enthält. Die augenblickliche Hüllkurve "Envelope" wird vom Betrag des analytischen Signals gezeichnet.

Das Verfahren, wie in Abbildung 4 dargestellt, wurde in MAX/ISPW implementiert (Abb. 6) [Puckette][Lindemann], um die Celloklänge in Echtzeit zu bearbeiten.

Wir haben soweit nur Sinustöne betrachtet. In der Praxis trifft man aber auf harmonische Töne, die zahlreiche Obertöne aufweisen. In dem nichtlinearen Verfahren interagiert jeder Teilton mit jedem anderen. Das Resultat ist ein sehr breites Spektrum, das zwar den gesuchten Differenzton beinhaltet, das aber zu harsch erklingt. Ein Tiefpaßfilter am Eingang bzw. am Ausgang kann die Ausbreitung des produzierten Spektrums effektiv reduzieren und die Klangfarbe je nach Bedarf gestalten. Für das Cello haben wir diesen Tiefpaßfilter auf ca. 2 kHz gesetzt.

Schlußbemerkung

Mit dem vorgestellten Verfahren können die Differenztöne schon bei mittlerer Lautstärke gehört werden. Das Verhältnis zwischen originalem Ton und Differenzton läßt sich am Mischpult fein abstimmen. Die künstlich produzierten Differenztöne haben die gleiche "rauhe" Klangqualität wie die im Ohr entstehenden Differenztöne.

Das Verfahren, so wie wir es auf MAX/ISPW implementiert haben, hat seine erste künstlerische Bewährungsprobe bestanden. Der Cellist Michael Bach hat ein Stück für den gezielten Einsatz von Differenztönen geschrieben: "55 Sounds for Cello". Es besteht fast nur aus Akkorden von 2 bis 4 Tönen, die Michael Bach mit seinem Rundbogen gleichzeitg auf dem Cello spielen kann. Die Differenztöne ergänzen das Gespielte um eine virtuelle Stimme, die tatsächlich zu hören ist. Die Uraufführung des Stückes, gespielt von Michael Bach und technisch realisiert von Rainer Lorenz, fand im Juni 1995 auf Schloß Monrepos in Ludwigsburg statt [Hoffleit et al.].

Abb. 5: Kurve "i": xi(t) = sin(2pf1t) + sin(2pf2t)
Kurve "r": xr(t) = cos(2pf1t)+ cos(2pf2t)
Kurve "Difference tone":
Kurve "Envelope":
mit f1 = 261 Hz, f2 = 326.25 Hz, f2-f1 = 65.25 Hz, 1/( f2-f1) = 15 ms

Abb. 6: Implementierung in MAX/ISPW.

Durch diese Arbeit hoffen wir, die Meinungen der Psychoakustiker und der Musiker vereint zu haben: Die natürliche Differenztöne entstehen meistens im Ohr, vor allem bei hoher Lautstärke. Manche Differenztöne entstehen aber auch im Instrument und sind deshalb schon im Luftraum vorhanden, vor allem wenn das Instrument eine Nichtlinearität aufweist. Mit dem hier vorgestellten Verfahren hat man die Möglichkeit, Differenztöne willkürlich entstehen zu lassen: sowohl bei mittlerer Lautstärke, als ob sie im Ohr entstehen würden, als auch mit einem linearen Instrument, welchem man durch Signalverarbeitung künstliche Nichtlinearitäten hinzufügt. Mit diesem Verfahren können die Musiker mit den Differenztönen besser experimentieren und die komponierten und erwarteten Töne mit Sicherheit zum Ausdruck bringen.

Das NeXT/ISPW Computersystem hat sich bei der Suche nach einer Lösung bewährt. Es ist jedoch für diese Anwendung überdimensioniert. Man sucht deshalb ein handliches Effekt-gerät, das Michael Bach täglich benutzen könnte und das den Effekt "Differenztöne" standardmäßig anbieten würde.

Literatur

Murray Campbell and Clive Greated, The Musician's Guide to Acoustics. Dent & Sons Ltd, London, 1987.

Otto Kolleritsch Hrsg., György Ligeti - Personalstil - Avantgardismus - Popularität. Studien zur Wertungsforschung, Band 19. Universal Edition, 1987.

Michael Bach, Fingerboards & Overtones. Alexander Ochs Hrsg. in der edition spangenberg, 1991. ISBN 3-89409-063-4.

Michael Bach, 55 Sounds for Cello. 1995.

Reinier Plomp, Aspects of tone sensation, a psychophysical study. Academic press, 1976.

A.J.M. Houtsma, T.D. Rossing, W.M. Wagenaars, Auditory demonstrations, Nr 34. CD IPO and ASA, Philips 1126-061, 1987.

Hans Peter Haller, Das Experimental Studio der Heinrich-Strobel-Stiftung des Südwestfunks Freiburg 1971-1989, Die Erforschung der Elektronischen Klangumformung und ihre Geschichte. Südwestfunk, Schriftenreihe, Rundfunkgeschichte, Band 6/1. Nomos Verlagsgesellschaft, Baden-Baden, 1995.

Juan G. Roederer, Introduction to the physics and psychophysics of music. Springer, 1979.

Eberhard Zwicker und Richard Feldtkeller, Das Ohr als Nachrichtenempfänger. Hirzel, 1967.

Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, Als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik, 1862. Nachdruck: Georg Olms, 1983.

Alfred Mertins, Signaltheorie. Teubner, 1996.

Miller Puckette, FTS: A Real-Time Monitor for Multiprocessor Music Synthesis, Computer Music Journal, Vol. 15, No. 3, Fall 1991.

Eric Lindemann, François Dechelle, Benett Smith and Michel Starkier, The Architecture of the IRCAM Musical Workstation, Computer Music Journal, Vol. 15, No. 3, Fall 1991.

Renate Hoffleit und Michael Bach Bachtischa, Notrepos, Ein interdisziplinäres Projekt für "Monrepos '95". Heinrich Schmid, 1995.

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